Loading... # Lec 14 ~ 16 Physicaly Based Rendering ## 0. 辐射度量学 Radiometry 为了正确描述光照的属性，需要引入辐射度量学 **辐射度量学**（Radiometry）是一个用于衡量光照的系统和单位，它能够准确的描述光线的物理性质，在物理上更准确地进行光照计算。 ### 0.1 辐射能量和通量 **辐射能量**（Radiant Energy）：  辐射出来的电磁能量，单位为焦耳。 **辐射通量**（Radiant Flux）：  $$ \Phi \equiv \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}\ [\rm{~W}=\mathrm{Watt}\ ]\ [\ \rm{lm}=\rm { lumen }\ ]^{*} $$ 辐射通量或者说**辐射功率**，其实就是在辐射能量的基础之上除以单位时间，也就是单位时间的能量。同样也可以用物理当中的功率来进行类比。**一般用辐射通量来衡量光照的强度**。 ### 0.2 辐射强度 **辐射强度**（Radiant Intensity）是每单位**立体角**上的功率  **立体角**（solid angle）是二维角度在三维上的拓展。 单位立体角定义如下：  立体角的定义： 将物体投影到以观测点为中心的**单位球面**（半径为1）上，其投影面积的量值即为物体对于观测点的立体角的大小。 因此，立体角是单位球面上的一块面积，这和 “平面角是单位圆上的一段弧长” 类似。 单位立体角即为一个点在单位球面上的投影  立体角的国际制单位是球面度（steradian，sr）。立体角有一个非国际制单位 平方度，1*sr* = (180/π) *square degree* **一个球，所有封闭曲面，有**$4\pi$**的立体角**。  ### 0.3 辐照度 **辐照度**（Irradiance）是指 每单位照射面积的功率。  当然这里指的是垂直照射的功率。如果不是垂直，那么就需要进行一个投影（乘以入射向量与表面法向量夹角的余弦$\cos{\theta}$）。可以根据如下面积变化解释： 如下图所示，同样的面积 $A$ 照射过来的光，那么直立照射在表面上的面积是$A_1=A$，以偏离法向量 $\theta$ 角度斜着照射则是$A / \cos{\theta}$ 那么: $$ E_2 = \Phi / A2 = \frac{\Phi×\cos{\theta} }{A} = \Phi/A_1 ×\cos{\theta} = E_1 × \cos{\theta} $$  回想在Blinn-Phong模型中，我们提到的**Lambert定律**：`漫反射能量 = 光线能量 × cosθ `, 这便可以用上述辐照度来解释。 同时，光照能量随着距离平方衰减的规律也可以得到解释： 光源的**功率保持不变**，向四周均匀辐射。所以对于一个**完整的**球壳上的任意一点，其辐照度为$E'=\Phi/A=\Phi/4\pi r^2$ ，显然是以 $r^2$ 的量级缩小的。 此外，对球壳上的表面进行辐照度的定积分可得球壳上辐照度总和为：$E=\Phi/4\pi$，是一个恒定不变的值，与球壳半径无关。所以$E'=E/r^2$  - 注：从这两例可以看出，之所以光线的能量在衰减，与所说的 **“强度”**（intensity） 其实无关，本质上是**辐照度**（irradiance）在衰减。 ### 0.4 辐射率 **辐射率**（radiance） 定义为**每单位立体角、每单位垂直面积的功率**，很像是Intensity和irradiance的结合。它同时指定了**光的方向**与**照射到的表面所接受到的亮度**，所以这个是最常用的。  - 注意**辐射率**相比较于**辐照度（irradiance）** 的一个区别， 指定是**垂直方向**上的面积，所以可以看到公式分母是 $\cos{\theta}$，自带一个余弦。这样也方便描述**光线本身的方向和能量**，不会因为照射面积的法线不同而发生变化 同时，辐射率与辐照度可以通过积分联系起来：  根据辐照度的公式与辐射率的公式，可以得到下图的第一个公式。 两边同时对立体角 $\rm{d}\omega$ 积分，可以得到 辐照度 $E$ 与辐射率 $L$ 的关系。其含义就是：将p点这一单位面积上的来自各种不同方向（立体角）的光照功率进行累加 *(形如下图右上角)*，得到：p点这一单位面积所接收到的所有光照功率，即为**辐照度**的定义。  ## 1. 双向反射分布函数 BRDF 了解了上述辐射学概念，我们可以这样理解反射：来自某一个方向的一个光线照射到物体表面上一单位面积点，能量 *(辐照度 irradiance)* 被表面**吸收**了，接着表面再将这能量以光线的形式 *(辐射率 radience)* 向着不同方向发射出去。   描述这样一个 *从不同方向入射之后，反射光线分布情况* 的函数就是 **双向反射分布函数 （Bidirectional Reflectance Distribution Function）**  对于一个出射方向，我们可以将每一个入射方向 $\omega_{i}$的情况加起来，即可得到这个入射方向接收到的真实的光照。这便是 **反射方程**。其中积分的范围是一个半圆球面（$H^2$），并不考虑表面下传来的光线  当然，就像Whitted风格的光线追踪一样，一个光线可能不止弹射了一次，仍需要考虑递归的间接光照。这里暂时不做讨论。 ## 2. 渲染方程 我们需要考虑物体自发光的情况，所以在反射方程中添加了一个自发光项(Emission term)，就得到了 **渲染方程** ：  这里需要注意：$\cos{\theta}$ 用 $n·\omega_{i}$ 代替。 同时，所有的出射光线都是朝向外的 - 以**单点光源**为例： 只有一个入射光线，所以没必要积分  - 以**多点光源**为例 将多个点光源累加即可  - **范围光照** 相当于无穷多个点光源的集合，只需要对 面光源所在的立体角范围进行积分，并且能够确定不同立体角方向的面光源的入射光辐射率radiance即可  - **存在其他物体交互的情况** 把物体反射出的光线也当做一个光源即可，不需做多余的修正  <br> <br> <br> 我们可以将渲染方程进行简写：  其中各项与原渲染方程中一一对应，(这里其实有数学严格推导，不过我们暂时不必在意这些推导)可以把该式子离散化写为线性代数的形式：  其中$L、E$是向量，$K$是光线变换矩阵。等式左右都包含 $L$，将其移到一边，可得：  其中 $I$ 为单位矩阵，再接着对 $(I-K)^{-1}$ 使用广义二项式定理得到：  其中，$E$ 对应表面自发光， $KE$ 对应直接光照，$K^2E$对应一次弹射过来的光照，$K^3 E$对应两次弹射过来的光照，以此类推。其中前两项之和就是光栅化当中着色所考虑的   如上图所示，弹射次数越多，场景就越趋于真实，当然变化也就越小，越趋近收敛 注意一下图中上方的灯，在两次以下的弹射时，灯内是黑的；而从三次弹射开始，就变成透明的了。这是因为穿过两层透明的玻璃肯定至少需要2次的折射才能看到玻璃后的场景。 最后修改：2021 年 11 月 21 日 12 : 55 AM © 允许规范转载