Loading... # Lec03~04: Transformation 变换 ## 1. 基础变换 考虑到 **平移** 需要，引入 **齐次坐标** 对于二维图像上， - 点 $(x, y)$，其齐次坐标为：$(x,y,1)$ - 向量$(x,y)$，其齐次坐标为：$(x,y,0)$ 因为向量具有平移不变性。同时这样可以保证加减性质不变：  对于$(x,y,w),\ w>0$ 我们将其等价为$(x/w,\ y/w,\ 1)$ 的**点**。即`点+点`的结果在齐次坐标下即为**两点间的中点** (因为w=2) ### 1.1 缩放   ### 1.2 旋转   ### 1.3平移   ### 1.4 仿射变换 **仿射变换 = 线性变换 + 平移变换**  ### 1.5 复合变换 多个简单的变换矩阵可以组合成一个矩阵（相乘即可，**注意顺序**） 比如要将某个点绕着一个非原点的点$(a, b)$旋转$\alpha$度，可以进行如下操作： 1. 将点平移$(-a,-b)$ 2. 绕着原点旋转$\alpha$度 3. 将点平移$(a, b)$  ### 1.6 逆变换 变换矩阵 $T$ 的逆矩阵 $T^{-1}$ 即为与 $T$ 相反的逆变换 **正交矩阵：** 观察旋转矩阵$R_\theta$： $$ R_{\theta}=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) $$ 若要旋转 $-\theta$ 角度，则其变换矩阵为： $$ R_{-\theta}=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=R_{\theta}^{T} $$ 显然可以看出，$R_{-\theta} = R_{\theta}^{T} = R_{\theta}^{-1}$ 转置矩阵与逆矩阵相等的矩阵称为 **正交矩阵**。 且**所有的旋转矩阵都是正交矩阵** ## 2. 3D变换 3维空间同样适用二维的齐次坐标规则 3维的仿射变换：  ### 2.1 缩放  ### 2.2 平移  ### 2.3 旋转 #### 2.3.1 绕某一轴旋转  - 注意：$R_y(\alpha)$中的左下角的$-sin\ \alpha$和右上角的$sin\ \alpha$和常规的旋转矩阵是相反的。xyz轴的关系：z-xy，x-yz，y-zx。所以对于绕y轴旋转，对应的顺序其实是：第3行第3列(zz)、第3行第1列(zx)、第1行第3列(xz)、第1行第1列(xx) *这点在三维叉积公式上也有体现* #### 2.3.2 任意旋转（欧拉角） 任意角度的旋转都可以转换成绕x、y、z轴的旋转的组合 $R_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma) = R_{x}(\alpha)R_{y}(\beta)R_{z}(\gamma)$ **Rodrigues 旋转公式**： 绕着 $n$ 向量所在轴，旋转 $\alpha$ 度  其中 $I$ 是3阶单位矩阵， $N$矩阵 其实就是 $n$ 向量的叉积矩阵（被该矩阵作用得到的结果 等同于 与n向量叉积的结果） 推导过程：[https://www.cnblogs.com/wtyuan/p/12324495.html](https://www.cnblogs.com/wtyuan/p/12324495.html) ## 3. 视图变换（Viewing Transformation） 我们可以这样来描述视图变换的任务：**将虚拟世界中以（x, y, z) 为坐标的物体变换到 以一个个像素位置(x, y) 来表示的屏幕坐标系之中(2维)**，这确实是一个较为复杂的过程，但是整个过程可以被细分为如下几个步骤： - 模型变换（Model transformation） 摆放模型 - **视图变换**（Viewing transformation） 摆放相机 - 投影变换（Projection transformation） 将相机的视图投影到照片上 模型变换就是上文阐述的直接总用于空间中模型的变换。 想要在二维的屏幕上看到图像还需要**相机**获取**视图**，这部分涉及到的变换，称为**视图变换** 先定义一个**相机**： - positon：$\vec{e}$ - gaze direction：$\vec{g}$ - up direction：$\vec{t}$  当相机和物体之间没有相对运动的时候，相机所看到的图像是不变的。所以为了方便，我们约定：始终**使相机的位置** $\vec{e}$ **处于原点**，$\vec{g}$ **看向-z轴方向**，$\vec{t}$ **始终朝向y方向**。 当相机变换时，我们同时变换物体，以保持相机与物体的相对静止。  要把相机变换到这个指定位置，我们需要对相机进行变换。 - 将 $\vec{e}$ 平移至原点 - 将 $\vec{g}$ 旋转至 -z 轴方向 - 将 $\vec{t}$ 旋转至 x 轴方向 所以可得变换$M_{view} = R_{view}T_{view}$ 其中 对于$R_{view}$，由于直接旋转（将 $\vec{g}$ 旋转至 -z 轴方向，将 $\vec{t}$ 旋转至 y 轴方向）过于复杂，我们考虑其逆变换$R_{view}^{-1}$（将 -z 旋转至 $\vec{g}$ 方向，将 x 旋转至 $\vec{t}$ 方向）  同时，**所有的旋转矩阵都是正交矩阵** [见1.6]，所以易得 $R_{view}$ 即为 $(R_{view}^{-1})^{T}$ 由此，我们就得到了我们所需要的**视图变换**：$M_{view}$ 当我们对相机进行此变换时，**对所有物体同时进行此变换**，就可以保持物体相机相对位置不变。 ## 4. 投影变换（Projection Transformation）  ### 4.1 正交投影（Orthographic projection）  在摄像机坐标系中选取一个立方体范围，设在 x, y, z 方向上的范围分别是$[l,\ r];\ [b,\ t];\ [f,\ n]$，然后平移并缩放至 $[-1,\ 1]^3$ > 之所以$ f < n$ (far < near)，即在 z 轴上远坐标小于近坐标，是因为我们的 gaze-at 方向是顺着 -z 轴方向，所以越远的点z值越小。 > > 这样选取 gaze-at 的方向是为了配合 model，因为 model 是以所有轴正方向作为正向的，以 -z 为 gaze-at 方向可以模拟人类正常的观察方向。如果反向朝向z方向，投影之后物体就是关于原点对称的（x轴）。 > > 这也是为什么有些API（比如OpenGL）使用左手系，可以让z值都方便为正值。 具体操作： - 将物体平移到原点 - 将物体缩放至“标准立方体” （ $[-1,\ 1]^3$ ）中 得到变换矩阵：  ### 4.2 透视投影（Perspective projection）  透视投影就是最类似人眼所看东西的方式，遵循近大远小  可以将透视投影分解成2个操作： - 先将视椎体（frustum，左） “压缩” 成 “标准立方体“ （cuboid，右），即把远平面进行缩放，使得**近远平面变一样大** （$M_{persp->ortho}$） - 进行正交投影（$M_{ortho}$）  我们要如何进行缩放操作？先规定： **近平面的z值是n不会变化**。 **远平面的z值f在向中间挤的过程中也不会变化**。 **远平面的中心点是不受挤压的影响的，挤压之后仍然是中心点。** 此时，投影过程可用下图解释，将$(x,y,z)$一点投影至投影屏幕之后，他的坐标变为$(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$  根据相似三角形可得： $y'=\frac{n}{z}y$ 以及 $x'=\frac{n}{z}x$ 由此，问题便成为：寻找一个变化矩阵 $M_{persp->ortho}$ 使得作用于$(x,y,z,1)$后得到 $(n/z*x,\ n/z*y,\ ?,\ 1)$，即 $(nx,\ ny,\ ?,\ z)$ [见1中齐次坐标定义] 矩阵除第3行以外的值都显然易得：  对于第3行，我们需要利用**近平面和远平面的z值不变**的特点来求。 ① 近平面z值不变，用**近平面的z值——n**，去替换z就有了： $M_{persp->ortho}$ 作用于$(x,y,n,1)$后得到$(nx,\ ny,\ n^{2},\ n)$ 显然 $x、y$ 和 $n$ 无关，故第三行前两个值显然为0，设第三第四分别为A、B，则有：  即：$An+B=n^{2}$ ② 远平面中点$(0,0,f,1)$不变，所以 $M_{persp->ortho}$ 作用于$(0,0,f,1)$后得到$(0,\ 0,\ f^{2},\ f)$ 即：$Af+B=f^{2}$ 综上两式可得解： $A=n+f$ $B=-nf$ 得出：  最后的一步，将这个被压缩过的空间，重新正交投影成"标准立方体"，故定义透视投影变换$M_{persp}$ 如下： $\large{M_{persp} = M_{ortho}M_{persp->ortho}}$  如何定义近平面的 t,b,l,r (上下左右的位置)呢？ 一般常用：**宽高比 (aspect ratio)、垂直可视角度 (fovY)** 来描述 - 垂直可视角度：上端中点，视点，下端中点之间的夹角   所以便有了：  ## 5. 坐标系统 为了将坐标从一个坐标系变换到另一个坐标系，我们需要用到上述几个变换矩阵，最重要的几个分别是模型(Model)、观察(View)、投影(Projection)三个矩阵。我们的顶点坐标起始于**局部空间**(Local Space)，在这里它称为**局部坐标**(Local Coordinate)，它在之后会变为**世界坐标**(World Coordinate)，**观察坐标**(View Coordinate)，**裁剪坐标**(Clip Coordinate)，并最后以 **屏幕坐标** (Screen Coordinate)的形式结束。下面的这张图展示了整个流程以及各个变换过程做了什么：  1. 局部坐标是对象相对于局部原点的坐标，也是物体起始的坐标，一般是在一个以物体中心为原点的空间。 2. 下一步是将局部坐标变换为世界空间坐标，世界空间坐标是处于一个更大的空间范围的。这些坐标相对于世界的全局原点，它们会和其它物体一起相对于世界的原点进行摆放。 3. 接下来我们将世界坐标变换为观察空间坐标，使得每个坐标都是从摄像机或者说观察者的角度进行观察的。 4. 坐标到达观察空间之后，我们需要将其投影到裁剪坐标。裁剪坐标会被处理至-1.0到1.0的范围内，并判断哪些顶点将会出现在屏幕上。 5. 最后，我们将裁剪坐标变换为屏幕坐标，我们将使用一个叫做**视口变换**(Viewport Transform)的过程（*下一篇会讲到视口变换以及光栅化* ）。视口变换将位于-1.0到1.0范围的坐标变换到屏幕的坐标范围内。最后变换出来的坐标将会送到光栅器，将其转化为片段。 最后修改：2021 年 12 月 07 日 03 : 05 AM © 允许规范转载